摘要：随着世界金融市场的日益深化与发展，金融风险监管与控制的必要性日益凸显。而基金风险监管与控制是其中的重要组成部分。本文回顾了基金风险测度传统模型，并给出了新近出现的基金风险测度前沿模型；在此基础上，比较了传统模型与前沿模型的优劣；从而使得人们对基金风险测度模型框架有一个比较清晰的认识。

关键词：基金风险 风险测度 分形测度

基金风险管理测度是指对基金运营绩效和基金风险的测度与监管。基金风险管理测度模块可以解决基金风险管理的技术层面上的问题。但必须指出的是：无论量化分析技术如何发达，对基金风险的测度与监管以及基金活动绩效的评估并不能完全依赖于量化技术。
1.1 基金风险管理的基本系数
1.1.1方差 方差是衡量风险的最常用的一种方法，它测量的是投资收益率围绕其平均值变化的程度。如果围绕均值发生剧烈变化则表明投资收益率有很大的不确定性。使用历史资料来计算基金的方差，可以利用以下公式： 221()1NitiiiRRNσ−=−=−Σ。
其中:2iσ=基金i的方差;iσ=基金i的标准差;itR=基金i在第t期中的投资收益率; iR−=度量期间基金i的平均收益率；N=度量期数。
通过适当变换，可将上式变换为：221121NNititiiiRRNσ==⎡⎤−⎢⎥⎣⎦=−ΣΣ；进一步，基金i的投资收益率iR的方差为：222iim
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ei σβσσ= 。式中第一项22imβσ是基金的系统风险部分，这部分风险是由整个市场的动荡引起的；第二项2eiσ是基金的非系统风险，这部分风险是与基金自身特定的波动相联系的。
1.1.2β系数 市场风险通常用所谓的“β系数”来计量。β系数用于测量某资产随市场组合上下波动的敏感程度。是关于一种资产的回报对其中来自市场证券组合收益变动的敏感程度的测量尺度。某资产i的系数iβ定义如下:2(,)imimCOVRRβσ=. 其中:iR =资产i的收益率；mR =市场证券组合的收益率σ2m=市场证券组合的方差这里的β与资本资产定价模型(证券市场线)里的β数是完全一样的。资本资产定价(CAPM)模型的表达式为:
1
()()ifimfERRERRβ⎡= −⎣ ⎤⎦
；可将其改写为：()[()]ifimfERRERRβ−=−。可用下式来回归系统风险系数iβ：()itftiimtftitRRRRαβε−= − 。其中，fR＝无风险利率。定义基准指数的β值等于1.00。当某基金的β值小于1.00时,该基金的波动性就小于基金指数的波动性；高于1.00时，该基金的波动性就高于基金指数的波动性,β将上涨或下跌15％。β值小于1.0表明基金风险低于平均水平。货币市场基金的β值为零,因为其收益与股票市场不相关。β值也可能为负,但这种基金很少见。
1.1.3 晨星风险 晨星公司是美国著名的专业基金评级公司。它有自己的风险计量指标晨星风险,该指标反映一种基金与同类型其他基金相比的不稳定性。晨星公司认为基金收益率应该高于无风险收益率,如果低于无风险收益率,则发生风险。因此在度量风险时,它只考虑基金收益率低于无风险收益率的情况。它基于这样一个假设,将某只基金月收益率与无风险利率进行比较,得到超额收益率,将负的超额收益率加总,取绝对值除以度量期数就得到基金下滑风险的测度值。为所有相似基金计算下滑风险的测度值,于是可以得到这些基金的总平均值。晨星风险=基金下滑风险测度值/同类型基金下滑风险的总平均值。 具体做法是选择某基金以前月份的收益率，比如36个月，计算出该基金的下滑风险，再计算出同类型所有基金的下滑风险的总值，相除便得到该基金的晨星风险。晨星风险值是衡量基金收益率负向变动的指标。如果基金风险等于0.80,表明该基金比平均风险水平低20%。
1.2 基金绩效评估主要方法
按照基准收益率将评价指标分为两类：一类基于CAPM模型，将市场指数作为基准收益率简称为CAPM基准；另一类基于APT模型，以多因素模型决定的期望收益作为基准收益率即APT基准；其中基于CAPM的夏普业绩指数法、特雷诺业绩指数法、简森业绩指数法应用较为广泛。
夏普业绩指数是基于资本资产定价模型基础上的，考察了风险回报与总风险的关系，计算公式如下：S=（Rp―Rf）/σp 。其中：S表示夏普业绩指数，Rp表示某只基金的收益率，Rf表示无风险利率，σp表示投资收益率的标准差，它是总风险。 夏普业绩指数越大，基金的表现就越好；反之，基金的表现越差。
特雷诺认为足够分散化的组合没有非系统性风险，仅有与市场变动差异的系统性风险。因此，他采用基金投资收益率的βp系数作为衡量风险的指标。T=（Rp―Rf）/βp 。其中：T表示特雷诺业绩指数，Rp表示某只基金的投资收益率，Rf表示无风险利率，βp表示某只基金投资收益率的系统风险。特雷诺业绩指数的含义就是每单位系统风险资产获得的超额报酬（超过无风险利率Rf）。特雷诺业绩指数越大，基金的表现就越好；反之，基金的表现越差。
1968年美国经济学家简森系统地提出如何根据CAPM模型所决定的期望收益作为基准收益率评价共同基金业绩的方法，计算公式如下： J=Rp―{Rf βp（Rm―Rf）} 。其中：J表示超额收益，被简称为简森业绩指数；Rm表示评价期内市场的平均回报率；Rm-Rf表示评价期内市场风险的补偿。当J值为正时，表明被评价基金与市场相比较有优越表现；当J值为负时，表明被评价基金的表现与市场相比较整体表现差。根据J值的大小，我们也可以对不同基金进行业绩排序。
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上述的三种评估方法中都需要将市场指数作为基准收益率，但在期货市场上，双向交易的普及使得投资者往往较难确定市场平均收益率和方差，所以采用一种古老而简单的平均收益率评估方法可能是较好的选择。平均收益率是一种没有进行风险调整的业绩度量方法，它仅以平均收益来简单评估投资的总体表现，为在一定时期内考核期货投资的业绩情况提供一个直观的参考。考虑到期货投资时效性较强，采用周收益率分析应是较好的选择，周收益率计算公式为：En =(Vn-Vn-1)／Vn-l，其中Vn为本周期末净值，Vn-1为上周末净值。再根据对En进行统计取得平均收益率和方差，以此作为评估期货交易总体风险的重要手段。
1.3 基金风险管理测度的基本模型
1.3.1 VAR 模型
VAR: Value at Risk； 它简要给出了在一定的置信度水平下与一定的目标水平之上，预期的最大损失。在美国，VAR模型得到了众多评估机构如穆迪、标准普尔以及SEC的宣称支持。衡量VAR的第一步是对：（1）基本时间间隔的多长；（2）置信水平的多大的选取。一般分布中的VAR计算，设为初始投资额，0WR为投资回报率，μ为期望收益率，σ为收益率Ｒ的波动率，那么，目标期间投资组合的价值将是：0(1)WWR= 。在给定置信水平下，投资组合的最小价值是：WW。VAR定义（与期望值有关时）为投资组合的期望价值与最小价值之差：c*0(1 = R* )**0()()VAREWWWRμ=−=−−，有时VAR定义为绝对损失；即与零有关，与期望值无关：VAR（零值）＝。所以，在这两种情形下，只要知道最小价值或最低投资回报率就可以计算出相应置信水平下的VAR值。另外，也可以通过未来投资组合价值*0WWWR−=− *
0
() f w 的概率分布来计算，在给定置信水平下，低于的概率*Wc*W*()pPwW=≤为1，即：c−**1()()WcfwdwPwW−∞
p −==≤∫ = 。这种计算方法对连续分布或离散分布以及不管两侧敞口的大小如何都可以计算VAR的大小。
在正态分布中，VAR的计算可以直接由投资组合的标准差和一个取决于一定置信水平的乘数因子得到。其具体计算方法如下:首先，将一般分布()fw转化为标准正态分布()ϕε，这时有：**1(w) ( ) ( ) W R a c f dw frdr ϕ εdε − −
−∞ −∞ −∞
− =∫ =∫ =∫ 。其中，*,Rraμμεσσ−−−==。接下来，求VAR的问题就转化为求的问题，只要使左侧的面积等于1ac−即可，若置信水平为0.95，对应的值为1.65，若置信水平为0.99对应的值为2.58，即为标准正态分布的上分位点值，再由aaa*Raσμ=− （*R一般为负值，可去掉绝对值符号）即可得到最低收益率的值。最后，一般假设μ和σ以年为基础，时间间隔为tΔ（单位是年），那么和期望值相关的VAR与和初始值相关的绝对损失就可以变换为：
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*00**000()()VARWRWatVARWWWRWattμσσμ=−−=Δ=−=−=Δ−Δ
T
这一方法适应于大样本多样化程度高的投资组合,但不适应于期权所占比重大的投资组合及只有较少金融风险的投资组合。
1.3.2 总的整合风险管理模型：Russell-Yasuda Kasai 模型
Russell-Yasuda Kasai 模型是由Frank Russell公司和Yasuda火险及水险保险股份有限公司开发的一种使用多阶段随机规划的资产－负债管理模型，它利用多重周期的方式确定了一种最优化的投资策略，并且使决策者们能用明确的操作性术语来为风险管理构造一个可行的操作模型，对基金风险测度与管理起到一定程度的借鉴意义。其简化模型如下：
（1） 设不同阶段标识为0,1,,.t=iii随机规划的决策变量是：＝在时间t所有资金的市场价值；tVntX＝资产在时间t的市场价值；＝在时间的收入亏空；＝在时间ntlw tl tlv tl 的收入盈余。
（2） 设随机规划系数中的随机变量为：ntlRP ＝资产从时间末到时间末的价格收益；nttl ntlRI ＝资产从时间t末到时间tnl 末的收入收益。
（3） 设随机变量为：＝从时间t末到时间ttlF l 末的存款流入；＝从时间t末到时间t末的本金支付；tlP l tlI ＝从时间末到时间ttl 末的利息支付；tlg ＝从时间t末到时间tl 末的已贷记给保单的利息率；＝时间t的负债估值。 tL
（4） 则目标中的参数化方程为：＝分阶段性的凸成本函数。这个模型的目标是把资金分配到可适用的资产上，以在规划时间跨度T结束时取得最大的预期财富和最小的处罚亏空。则优化方程为： ()tCi
1max()TTtttimizeEVcw=⎡⎤−⎢⎥⎣⎦Σ
满足条件：
预算约束：0nttnXV−=Σ 4
资产累积关系：11()tntlntlntttnVlRPRIXFPI 1 t 1 − =−−
Σ
收入亏损约束：1ntlnttltlttnRIXwvgL −=Σ
和非负约束：110,0,0ntttXvw ≥≥≥
T −
1 t I
其中，。负债余额和现金流被计算出来以满足负债累积关系：。 0,1,2,,1t=iii1111(1)tttttLgLFP = −−
把所有约束条件整合到优化方程中，构成一个拉格朗日方程组。解出这个拉格朗日方程组，可以得到期初资产配置的最优组合。同理，运用到基金运营上，可以得到期初的基金类型配置最优解及其综合风险解。
1.4 基金风险测度的前沿模型
除了上述给定的基金风险测度的基本系数、基金绩效的测度模型以及基金风险测度的基本模型之外，随着经济研究活动中分形分析技术、拓扑原理、流形等分析技术的引入，基金风险测度的视野也越来越宽广。需指出的是：基金风险测度的基本技术、基金绩效的测度模型以及基金风险测度的基本模型由于开发时间较长，又有计量模型和计量软件的检验支持，所以在世界范围内得以广泛应用。虽然它们的使用范围很广，但还是有各自内在的缺陷；比如β系数的测度，就存在与方差检验不一致的情况；还比如VAR的测度，对基金风险很大程度上要求是线性的。而现在基金风险测度前沿模型的引入，正是针对这些缺陷设计改良后产生的测度模型。但这些模型由于开发时间较短，其应用还停留在不太成熟、范围不太广之阶段。但可以预见的是，随着这些模型的进一步完善，其对基金风险的测度应用将进一步深化。
1.4.1 基金风险的熵测度
我们所处的世界根据其体系内的子系统和相互作用影响程度大致可以区分为：简单系统与复杂系统。复杂系统的基本特点为：（1）层次性（hierarchy）（2）鲁棒性（robustness）(3)奇异性（singularity）。而复杂性测度的一个基本工具就是熵。根据熵的研究历史，大致可以分为：（1）玻尔兹曼熵1 设有个可能的微观状态，那么玻尔兹曼熵为；这个宏观量就测度了微观上的不确定性或复杂程度，其中k是玻尔兹曼常量。（2）申侬信息熵NlnSkN=2：11lnNii
i IPP==−Σ，其中1iPN=，为系统所有可能状态。（3）Kolmogorov测度熵N3：
1中国科学院《复杂性研究》编委会；《复杂性研究》；北京：科学出版社；1993年7月第1版页码： 66。
2中国科学院《复杂性研究》编委会；《复杂性研究》；北京：科学出版社；1993年7月第1版页码： 67。
3中国科学院《复杂性研究》编委会；《复杂性研究》；北京：科学出版社；1993年7月第1版页码： 67。 5
10iiiKDλλ>=Σ，其中iλ是正Lypunov特征指数，是部分维数。从定义中可以得出，熵主要是从信息测度角度出发来衡量系统的可能性状态（即熵值）。以简单混沌动力系统一维映射为例： iD
{20012(1)0()nnnnxxnnxxfx≤≤ −== .5
.5≤x ≤1
若将初始条件0x落在区间[0的几个等分间隔,1]1n中，则信息(0)1111lnniInn==−Σ。经过一次迭代之后，间隔长由1n变成2n，分辨率下降，因此信息量为/2(1)1122lnniInn==Σ。故而信息熵的变化为。故而每迭代一次初始信息丧失1比特。经过多次迭代初始条件信息完全丧失尽，系统的轨道成了敏感初始条件的混沌。从轨道上看，状态的不确定性增加了，复杂性增加了，因而熵（或正Lyapunov指数）代表熵的平均增加量。而敏感初始条件的混沌可以借助蝴蝶效应来刻画。蝴蝶效应可以通过Lorenz 方程组或Rossler方程组来解析。Lorenz 方程组或Rossler方程组是一组迭代动态规划方程，通过改变其初始值，通过不断的迭代，最后可以导出系统是否趋于稳定还是趋于混沌。 (1)(0)111ln2IIIΔ=−=−1K
鲁晨光早在1997年就利用上述原理对中国股票期货市场的风险控制问题进行了分析。借助鲁晨光的分析，中国基金市场的风险控制问题从熵理论的角度可以得以展现。我们假定基金市场风险主要由三方面造成的，即由市场竞争不充分、基金运营监管主体的局部理性和基金市场信息披露不充分所引致的。市场竞争不充分大致对应于非系统风险中的组织结构风险；基金运营监管主体的局部理性大致对应于非系统风险中的目标监管技术风险；市场信息披露不充分程度大致对应于非系统风险中的规章制度风险。设我国基金市场不充分竞争程度为，主要以我国基金市场中基金发起人和管理人以及托管人数目来衡量；基金市场信息披露不充分程度为，主要以监管机构对基金公司信息披露的要求和基金公司披露的实际状况的对比程度来衡量；基金运营监管主体的理性程度为，它的对偶函数表示基金监管主体的非理性程度，主要以基金公司的投资组合的风险成本收益来衡量。接下来，构造我国基金市场非系统风险的Lorenz方程组： ()Fx()Gy()Hz()Hz−()()()()()()()()()()()()()()()dFxFxaFxbGycHzdtdGyGyeFxfGygHzdtdHzHzjHzhFxiGydt•••== −== −==−−
其中，皆为常数，分别表示这些函数对自身和其他函数的敏感程度，它们的测量可以根据这三个函数的时间序列值借助计量软件做回归分析得出。在得出这些常,,,,,,,,abcefghij

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数值之后，将我国基金市场非系统风险的Lorenz方程组放入到相关的数学软件中进行迭代，并赋予不同的初始值，可以考察我国基金市场非系统风险的收敛或发散的状态，是否会产生相应的蝴蝶效应。
1.4.2 基金风险管理的分形分析
分形概念的提出是对我们认识世界的一种深化和发展。它是对原有的欧氏几何空间思维的一种突破，为人们认识和掌握世界的复杂性提供一个新的武器和手段。在欧氏几何空间中，人们认识世界的维数总是整数的，比如时间和直线是一维的；平面是二维的，而立体是三维的；而在分形空间里，事物的维数不再用整数来衡量，而是用分数来衡量的。分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓扑学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中做出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。
关于分数维定义，不同的数学家给出的定义不尽相同，主要的定义如下：
（1）闵可夫斯基（H. Minkowski）维数4：设是有界非空子集，令为半径为dA⊂􀁜()NAδδ的覆盖的球的最小个数，则的上闵可夫斯基、下闵可夫斯基维数分别定义为： AA00log()():dim:limsup,loglog()():dim:liminf.logBBNAAANAAAδδδδδδδ→→Δ==−==−
若()(),SAδΔ=则称这一公共值为的闵可夫斯基维数，并记为。 AdimBA
（2）、施坦因豪斯坦维数定义5：设Γ为平面(,)xy上一条局部可求长的曲线，令为与Γ相交的直线的集合，为与()Ω=ΩΓkΩΓ恰好有个交点的直线的集合（），最后令k1k≥
4文志英 编著；《分形几何的数学基础》；上海；上海科技教育出版社；2000年12月第1版，页码：11。
5文志英 编著；《分形几何的数学基础》；上海；上海科技教育出版社；2000年12月第1版，页码：13。 7
d(),()kkwmwdm=Ω=Ω，此处表示前述直线集合上的测度。曲线的斯坦因豪斯坦维数为：dmΓ11dim:inf1:sup1:Stkkkkkwkwαααα≥≥⎧⎫⎧Γ=≥<∞=≥=∞⎨⎬⎨⎩⎭⎩ΣΣ ⎫⎬⎭
。
（3）、上下曼德斯弗朗斯维数定义6：令Γ为从原点出发的局部可求长的无界曲线，为从原点出发长度为t的局部可求长的曲线，以表示tΓtKtΓ的凸闭包，()tK∂为的边界，tKtδΓ为的tΓδ－闵可夫斯基平行体的勒贝格测度，则Γ的上下曼德斯弗朗斯维数定义为 0logdimlimlimsuplogtMFttKδδ→→∞∂Γ=Γ 0logdimlimliminflogtMFttKδδ→→∞∂Γ=Γ
其中tK∂表示的长度。 ()tK∂
（4）、伯西柯维奇—泰勒维数定义：设为区间S[],ab的闭子集，那么[],\abS为开集，它可表示为可列多个不相交开区间{}1nnI≥的并集，它恰好是[],\abS的一个填充，我们希望通过区间族{}1nnI≥来描述。假定SnI按长度递减的顺序排列，并记nI的长度为nnIu=，则的伯西柯维奇（A.S.Besicovitch）——泰勒（G.I.Taylor）维数定义为： S
1diminf:BTnnSuαα≥⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭Σ ∞
。
将分形原理运用到经济研究活动当中来，是从20世纪70年代开始发展的，在互联网上用google 搜索引擎以分形为关键词，对它的PDF文件进行搜索，大致有193,000项结果，但能打开并下载有59篇文章；而在我国的经济研究活动当中，其利用分形来研究股票市场或资本市场的主要阵营是黑龙江省社科院和东北大学的数量经济研究所，在中国期刊网上能检索到的24篇关于分形经济研究的文章中大部分是来自这两个阵营的作品。在现阶段的中国，关于分形原理在资本市场上应用的专著流行的最为广泛的一书当属美国作者埃德加.E.彼得斯所著的《分形市场分析－将混沌理论应用到投资与经济理论上》。该书分为五个部分：分形时间序列、分形的（R/S）分析、应用分形分析、分形噪声、噪声混沌。第一部分是关于分形基础的介绍；第二部分R/S分析主要介绍了重标极差（R/S）方法及其技术问题（包括计算和显著性检验等问题）；第三部分应用分形分析叙述了如何应用R/S分析技术的问题，并说明了在不同类型的时间序列以及不同的市场上，使用R/S分析的优势与不足。第四部分分形噪声里，主要运用R/S分形，分析了不同“色彩”的噪声，并讨论了分形噪声过程的统计学，最后表明了分形统计在资产组合选择和期权定价问题上的影响。第五部分噪声混沌里，给出了噪声的动态系统。具体来讲，首先给出了混沌系统的R/S分析，区别了分形噪声和噪
6文志英 编著；《分形几何的数学基础》；上海；上海科技教育出版社；2000年12月第1版，页码：14。 8
声阶混沌上；接下来对噪声混沌运用了分形统计进行刻画分形；最后得出了联系于分形市场假说和多重投资起点理论。由于本书是围绕R/S分析展开的，故而将其R/S分析简述如下：
（1） 以长度M为开始，并把长度M转换成对数比的长度的时间序列：。 1NM=−1(/),1,2,3,,iiiNLogMMiM ==•• • −1
（2） 均分这个时间区间长度为的相邻子区间，因而NAAnN∗=。标记每个子区间为,1,2,3,,aIa=••• A
k a
。在子区间中，每一元素标记为。长度为的子区间的平均值定义为：。这里，＝长度为，包括在子区间(,),1,2,3,,Nkmkn=•••N,1(1/)nakenN==∗ΣaenaI中的的均值。 iN
（3） 作为一个子区间aI对于均值的累积横距（XKA）的时间序列定义如下：
,,1(),1,2,3,kkaiaai
, XNek==−=•••Σ n
（4） 极差定义为在每一个子区间aI内，,kaX的最大值减去,kaX的最小值：
,,maxminaka k a RIX=− X 。
这里，1kn≤≤。
（5） 每一个子区间aI的样本标准差定义为：122,1((1/)())anIkakSnNe==∗−Σ a 。
（6） 每一个极差aIR，是由对应于它的标准差分割而正式化的。这样一来，每一个子区间aISaI的重差极差就等于/aaIIRS。从第二步开始，我们有个长度为的相邻子区间，这样一来，长度的平均Ann/RS值便可定义如下：
1(/)(1/)(/)aaAnIa
I RSARS==∗Σ。
（7） 对于下一个较高的值，长度是增加的，而且(N1)/Mn−是一个整数值。我们使用那个时间序列的起止点的值，重复步骤1到6，直至到。我们现在以为独立变量，为因变量，运用等式(/N(1)/nM=− 2 ()Logn(/)nLogRS)HnRScn=∗和(/)()()nLogRSLogcHLogn= ∗实施普通最小平方回归。
埃德加.E.彼得斯在本书的随后章节里给出了R/S的具体应用，尤其是对市场噪声的分
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析与检验，并在附录中给出了R/S分析的GAUSS程序与分形分布表。如果我们对这些模型根据基金市场风险状况加以修正和利用，在一定程度上将丰富我们对基金风险的认识，能进一步完善我们对基金风险的测度和监管。
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