摘 要：在介绍CL(Chui-Lian)多小波基本理论的基础上，探讨了CL多小波的预处理方法及其对CL多小波原有滤波器响应的影响，分析后认为Haar和平衡预处理方法是CL多小波最有效的预处理方法。文章还做了将具有这两种预处理方法的CL4多小波应用于电力系统正弦信号和故障暂态信号数据压缩的仿真实验。仿真结果表明，基于Haar和平衡预处理方法的CL4多小波具有较GHM多小波和传统db4小波更好的数据压缩效果。
关键词：CL多小波；预处理方法；数据压缩；电力系统故障

PRE-PROCESSING METHODS OF CL MULTIWAVELET AND THEIR APPLICATIONS IN POWER SYSTEM FAULT DATA COMPRESSION

ABSTRACT：On the basis of the presentation on basic theory of CL multiwavelet, the pre-processing methods of CL multiwavelet and their influence on former filters' response are discussed and analyzed, and the conclusion is that the “Haar” and “Balancing” pre-processing methods are most suitable ones to CL multiwavelet. The simulations on applying CL4 multiwavelet possessing these two pre-processing methods to compression of sinusoidal signals and transient fault signals in power system are carried out. The simulation results show that better compression results can be given by the CL4 multiwavelet based on “Haar” and “Balancing” pre-processing methods than those by GHM multiwavelet and traditional db4 wavelet.
KEY WORDS：CL multiwavelet；Pre-processing method；Data compression；Power system fault

1 引言
多小波分析是一种基于小波理论的近几年发展起来的新理论，多小波可同时具有对称性、正交性、短支撑性、高阶消失矩等属性，而这些属性是传统实系数小波不能同时具有的^[1]。多小波有许多构造方法，如Geronimo等人^[2]应用分形插值方法构造了具有短支撑、正交性、对称性和二阶消失矩属性的GHM多小波，Chui等人^[3]利用多小波的正交性、紧支撑性、对称性和插值性构造了CL(Chui-Lian)多小波，Jiang^[4]利用时频分析中的窗函数性质构造了具有最优时频分辨率的Jiang系列多小波，Mariantonia Cotronei等人^[5]利用Hurwitz块矩阵和Gram矩阵构造了半正交多小波。本文在介绍CL多小波理论的基础上，深入探讨了CL多小波的预处理方法，并将其应用于电力系统正弦信号数据和故障暂态数据的压缩，还比较了GHM多小波与CL多小波的数据压缩效果。

2 CL多小波的基本理论
小波分析中的多分辨率即是将平方可积信号f∈L²(R) 的逐级逼近视为采用低通平滑函数φ(t) 对f(t) 作平滑滤波的结果，且逐级逼近时平滑函数φ(t)也作逐级伸缩。一个多分辨率分析由一个尺度 函数生成，且包含一个经平移与伸缩构成L²(R) 空 间基的小波函数。类似地，多小波分析中也存在多分辨率分析，一个多分辨率分析由多个尺度函数生成，且包含多个经平移与伸缩构成L²(R) 空间基的 小波函数，这些小波函数即称为多小波^[6]。
多小波的多尺度函数φ(t)和多小波函数Ψ(t)满足以下二尺度矩阵方程^[3]

式中 0≤k≤L ，H_k 和G_k 为r×r维系数矩阵；L为多小波滤波器长度；r为多小波维数。根据多小波的多分辨率分析，有如下快速多小波分解与重构公式^[7]

式中 为多小波分解和重构的低频系数； 为多小波分解和重构的高频系数； 分别为H_k 和G_k 的复共轭矩阵。
位于区间[0,2]上的CL多小波的两个尺度函数φ₁(t)、φ₂(t)和两个小波函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)的支撑区间均为[0,2]；位于区间[0,3]上的CL多小波的两个尺度函数φ₁(t)、φ₂(t)和两个小波函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)的支撑区间均为[0,3]。为方便起见，作者根据Daubechies系列小波的定义方式，将上述两种CL多小波暂称为CL3多小波和CL4多小波(即它们的滤波器长度分别为3和4)，CL4多小波的滤波器系数矩阵^[3]为


式中 H₀ 、H₁ 、H₂ 、H₃ 为低通滤波器系数矩阵；G₀ 、G₁ 、G₂ 、G₃ 为高通滤波器系数矩阵；下标0、1、2、3表示系数矩阵的次序，与传统小波的滤波器系数序列相同；S=diag[1,-1] 。
根据多小波的尺度矩阵方程绘出CL4多小波的尺度函数φ₁(t)、φ₂(t)和小波函数Ψ₁(t)、Ψ₂(t)的时域波形和频域响应波形分别如图1和图2所示。

与传统小波相比，CL多小波具有更为优良的属性：CL多小波的尺度函数和小波函数均具有紧支撑属性，使其具有良好的局域性；两个尺度函数分别与两个小波函数对称和反对称，保证其具有线性相位；CL多小波是正交的，使其变换后保持能量衡定；CL3多小波具有二阶逼近阶，CL4多小波具有三阶逼近阶，使其具有良好的逼近性能，GHM多小波与CL4多小波相似，滤波器长度均为4，但其逼近阶仅为二阶。

3 CL多小波的预处理方法
3.1 采用预处理方法的必要性
与传统小波相比，多小波在实际应用中必须解决的关键问题是对原始信号的预处理。预处理的关键问题是：①由于多小波的尺度函数和小波函数是多维的，而需处理的信号一般是一维的，必须对所有多小波的原始信号进行预处理；②不同的预处理方法对多小波应用性能的影响非常大，怎样根据应用需要选择相应的最优预处理方法是多小波应用的关键问题。
如不采用预处理方法，简单的方法是将一维信号分解为其多相形式

式中 z=e^jω 。CL4多小波的低通滤波器响应H₁(ω)和H₂(ω)分别为

同理可求出其相应的高通滤波器响应G₁(ω)和G₂(ω)，如图3所示。

由图3可见，CL4多小波的低通滤波器和高通滤波器响应均表现出带通和带阻两种不相同的属性，其他多小波也有类似属性，这种现象易导致多小波的低通和高通频带相互混叠，不利于分解和重构信号，即如不采用有效的预处理方法，多小波不能像传统小波那样对信号很好地进行去噪和压缩等处理。
目前多小波的预处理方法主要分为两类：预滤波(prefilter)法^[8]和采用平衡多小波(balanced multiwavelet)法^[9]。
3.2 预滤波法
对于预滤波方法的研究主要集中在GHM多小波的预滤波，本文将文[5]提出的odd/even、deriv.、Haar、mod.Haar预滤波法和文[10]提出的预滤波法应用于CL4多小波。经大量仿真分析后，作者认为采用Haar法可取得较好的滤波效果，图4为Haar预滤波方法对CL4多小波原有滤波器响应的影响。

由图4可见，Haar预滤波法在一定程度上改善了CL4多小波两个低通滤波器和两个高通滤波器的响应。
3.3 平衡多小波法
多小波低通部分如有不同的频谱属性，会使通道不平衡和复杂化矢量化过程，矢量化过程的多相方法产生了混合粗细分辨系数，仅用粗分辨系数重构信号时将产生强烈的振荡，称为不平衡现象[9]。消除多小波不平衡现象的方法是构造平衡多小波，主要有两种构造方法：采用复Daubechies小波系列滤波器构造平衡多小波和平衡已有的不平衡多小波(简称平衡法)。
以下采用平衡方法来平衡CL4多小波，平衡算子为 ，平衡后CL4多小波的低通和高通滤波器分别为

CL4多小波的低通合成算子L^T 和高通合成算子T^T 满足等式

式中 u₁=[^...,1,1,1,1,^...]^T ，即矢量 在低通支路 保持不变，在高通支路被取消，这时CL4多小波即是平衡的多小波^[9]。图5为平衡法对CL4多小波原有滤波器响应的影响。

由图5可见，对CL4多小波采用平衡法不仅可使两个低通滤波器和两个高通滤波器的响应分别重合，还可较好地改善系统本身的低通、高通滤波器的响应性能。

4 CL多小波的应用
本文采用不同预处理方法的CL4多小波、GHM多小波和db4小波来实现对数据的压缩， GHM多小波和db4小波与CL4多小波非常类似，且具有正交性和紧支撑性，滤波器长度均为4。关于传统小波在电力系统故障数据压缩中的应用可参见文[11]。
采用电力系统的正弦信号和500kV高压输电线路单相接地短路故障相的电压信号(故障点距输电线首端的长度与输电线总长度的百分比分别为2.5%、12.5%、25%、37.5%、50%、75%、87.5%)作为原始信号，采样点为1024个，分解层数为6层。对CL4多小波采用Haar法和平衡法两种预处理方法；对GHM多小波采用GHM.init预处理方法(GHM.init是GHM多小波的所有已知预处理方法中综合效果最好的预处理方法之一)；对db4传统小波采用直接处理采样点的方法。本文采用保留多小波分解后的若干最大系数的数据压缩方法。该方法的原理是：对原始信号进行小波尺度的扩展，保留绝对值最大的系数，这种情况下，可仅用全局阈值来压缩信号，以实现信号的压缩或相对均方差赋范信号的恢复，该方法可先确定数据的压缩比。定义信号重构后的赋范均方误差为

式中 f(n)、 分别为原始信号与恢复信号。 表1为采用该方法时，采用不同多小波对相应信号数据的压缩结果。

计算出其他故障点信号数据压缩的赋范误差、平均误差和均方差，得到压缩比为20:1时随不同故障地点变化的赋范误差曲线如图6所示。50%处故障的暂态信号随不同压缩比变化的赋范误差曲线如图7所示。

由表1、图6和图7中压缩效果参数可知：
(1)GHM多小波及CL多小波对平稳信号(正弦信号)或暂态信号(故障信号)的数据压缩效果均比db4传统小波的好；
(2)采用Haar和平衡法预处理方法的CL4多小波的压缩效果均明显比采用GHM.init预处理方法的GHM多小波的压缩效果好；
(3)CL4多小波采用平衡预处理方法时，压缩效果总体上比Haar预处理方法的好一些。

5 结论
本文介绍和分析了CL多小波及其不同的预处理方法，采用保留分解后若干最大系数的数据压缩方法，对采用不同预处理方法的CL多小波在故障数据压缩中的效果与GHM多小波及传统db4小波进行了比较。综合各种压缩性能指标后认为，基于Haar法和平衡法的CL4多小波比基于GHM.init法的GHM多小波压缩效果优越，更适用于对电力系统信号的数据压缩。

参考文献

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