摘要：输电线路发生故障后将产生向变电站母线运动的行波，因此可以在母线处采集并记录故障电流行波，利用小波变换快速算法即可实现输电线路的精确故障测距。但由于输电线路故障电流信号中具有很强的突变信息，因此须用小波变换对实变信号进行奇异性检测，从而将奇异信号发生的时刻转换为故障距离。文章通过EMTP仿真计算及对结果的详尽分析，提出了一种利用小波变换模极大值的传播来计算故障距离的新方法。仿真试验表明了该方法具有较高的测距精度。

关键词：小波变换 输电线路 奇异性 故障测距 电力系统 继电保护

1 引言
超高压输电线路故障测距方法目前主要有两类^[1,2]：阻抗法和行波法。
阻抗算法是建立在工频电气量基础之上的，是通过求解以差分或微分形式表示的电压平衡方程，计算故障点与测距装置安装处之间的线路电抗，进而折算出故障距离的测距方法。根据所使用的电气量，阻抗算法可分为单端电气量算法和双端电气量算法。不管用哪种算法，由于受保护用互感器的误差和过渡阻抗等因素的影响，阻抗算法往往不能满足对故障测距的精度要求。
行波测距法的基础是行波在输电线路上有固定的传播速度（接近光速）。根据这一特点，测量和记录线路发生故障时由故障点产生的行波到达母线的时间可实现精确故障测距。早期行波法使用的是电压行波，而理论和实践证明普通的电容分压式电压互感器不能转换频率高达数百kHz的行波信号，为了获取电压行波则需要装设专门的行波耦合设备，因而使得装置构成复杂、投资大，而且缺乏测量和记录行波信号的技术条件，也没有合适的数学方法来分析行波信号，因此制约了行波测距的研究和发展。
小波分析^[3]作为数学学科的一个分支，以其理论上的完美性和应用上的广泛性，受到科学界、工程界的重视。目前，小波分析也逐步应用于电力系统。可以运用小波变换来分解由故障录波得到的具有奇异性、瞬时性的电流、电压信号，在不同尺度上反映故障信号，根据得到的故障信号特性确定合适的距离函数，进而求解出引起此信号突变的故障时间和地点，实现故障定位。
2 电力线路的数学模型
严格来说，电力线路的参数是均匀分布的，即使是极短的一段线路，都有相应大小的电阻、电抗、电纳、电导（如图1）。在一般情况下，需分析的往往只是其端点状况¾¾二端电压、电流和功率。通常可不考虑线路的分布参数特性，只有在特殊情况下才用双曲函数研究具有均匀分布参数的线路。

现有的测距算法线路模型虽然多种多样，各具特色，但归根结底，皆属于集中参数或分布参数这2种线路模型。
3 小波变换对奇异信号的检测
若函数（信号）f(t)在某个局部点t₀处间断或某阶导数间断，则通常称该函数在t₀处有奇异性^[3]。更细致的刻划可用Lipschtiz指数来描述：
设n为一非负整数，且α满足n≤α≤n 1，函数f(t):[a,b]→R在点x₀∈[a,b]是Lipschitz α。如果存在正常数A和h₀以及n次多项式P_n(x)，使得对任意h∈(-h₀,h₀)，则有

如果存在α，f在x₀∈[a,b]不是Lipschitz α，则函数f(t):[a,b]→R在点x₀∈[a,b]是奇异的。
信号奇异度定义如下：
设函数f(t):[a,b]→R,x₀∈[a,b] , 令α₀=sup{α,f在x₀是Lipschitz α}，则称f在x₀处的Lipschitz 奇异度为α₀。
显然α=1时，函数（信号）是连续可导的；当0<α<1时，函数的光滑性降低，当α=0时只连续。α越小，f(t)在t₀处的奇异性程度越高。这类函数（信号）在电力系统的有关信号研究中经常出现，并且往往可用信号的奇异性来确定故障发生的时间和原因。小波变换快速算法可以有效地提出故障行波的奇异性。
图1线路中，A相接地故障时，继电保护安装处A相的电流采样值分别为

A相电流的采样值经过小波变换后得到两组数值，平滑信号和细节信号。给定正交小波及其尺度函数的2尺度序列{p_k}和{q_k}，设采样序列为{C_{j 1,k}}，则分解后的序列为，变换公式为

其意义可由图2表示。即采样值经小波分解为平滑信息c和细节信息d 两组信息。对得到的平滑信息再作分解，而细节信息则体现了不同尺度下信号的奇异特征。

4 仿真实验
4.1 故障测距模型的建立
如前所述，本文方法是利用行波进行测距的，所建立的双端电源系统和线路模型采用了分布参数，如图3所示。图中2、3、4、5为母线，6为A相单相接地故障处，为方便处理，也看作为假定的母线，R_g为接地过渡电阻，母线处的小方块为保护装置。

试验测试线路为母线2 和4之间的线路，其分布参数L₀=1.11×10^-3 H/km，C₀=1.0×10^-6 F/km，可得行波波速线路长D₂=300km，故障发生处6与母线2间的距离为D₀，待定。母线5和2之间的线路为用作比较的线路，长度为50km，其分布参数L₁=2.0×10^-3 H/km，C₁=C₀。母线4和3间的线路为折射线路，其参数为L₂=L₁=2.0×10^-3H/km,C₂=C₀=1.0×10^-6F/km。在各母线处均安装了电流电压互感器，用于采集线路状态量。EMTP的采样频率为10kHZ。
4.2 EMTP仿真结果
设置故障点在距母线2为150km处，采样频率10kHz，选择Daubechies 3阶正交小波。经过小波变换后的信号如图4所示。
图4中共有3条图线，第1条图线为线路（母线2至母线4）在6处发生A相接地短路时，在母线2处测得的系列采样数据形成的电流波形；第2条图线为对该故障行波电流进行1次小波变换的细节（高频）信息图线；第3条为对相邻线路（母线5至母线2） A相电流（既发生故障时相邻线路的行波电流）进行1次小波变换的细节信息图线，用作比较。图中①、②、③和④表示故障后的时刻。在时刻①前系统是正常运行状态，波形非常平稳。在时刻①处，线路母线2至母线4之间的线路发生A相接地故障，A相电流突变，故小波分析得到第1个模的极大值。尔后，行波开始从故障点向母线2传输，在时刻②处到达，形成突变，小波分析得到第2个模极大值。此后行波发生折射和反射。折射波继续沿线路从母线2行进到母线5，再反射回母线2，对应图中时刻③处突变及模极大值；而反射波回到故障点后又1次反射，在时刻④处再次到达母线2，形成突变。

由前面的理论确定②和④处所对应的时刻为t₂和t₄，即可由式(5)计算得到故障距离，其中v为行波波速，约等于光速。

实际得到t₂和t₄之间的间隔为100个采样间隔，即0.01s，根据式(5)可以计算出故障测距为150km，结果正确。
4.3 不同情况的结果与分析
4.3.1 故障点距继电保护安装处为120km处（图5）

由图5中时刻②和④处仍能看出，间隔缩短，得到t₂和t₄之间为80个采样间隔，即0.008s，根据式(5)可以计算出故障测距为120km。与实际相符，表明计算结果正确。
4.3.2 故障线路分布参数L₀改变且故障点在150km处
图6为分布参数L₀由1.11×10^-3 H/km改为1.5×10^-3 H/km，故障点在150km处的测距情况。

由图6可以看出，行波速度v由于分布电感的增大而减小，因此故障行波在故障点与母线间的往返时间增大。此时，行波的波速为=2.58×10⁴ km/s。图中时刻②和④处的间隔响应扩大，得到t₂和t₄之间为120个采样间隔，即0.012 s，根据式(5)可以计算出故障测距为154.8 km。结果基本正确，相对误差为(154.8-150)/300=1.6 %。
4.3.3 非故障线路都用集中参数代替分布参数（图7）

由图7可以看出，由于非故障线路都用集中参数代替分布参数，此时没有比较行波，行波只能在故障线路上传输，突变非常明显，基本没有其他因素影响，②和④之间仍为100个采样间隔，所测得的故障距离仍然为150km。
4.3.4 特殊情况
讨论的特殊情况是相邻线路（母线5至母线2）分布参数与故障线路分布参数完全相同的情况，见图8。

由图8可以看出，相邻线路的线路参数与故障线路相同时，由于行波在相同参数线路上是连续传输的，不发生折反射，当故障行波传输到母线2时，因其二侧线路参数相同而行波继续行进，无变化，这时没有反射波返回故障点。直到行波到达母线5才反射，恰巧母线5至母线的2距离也为150km，所以使得②和③之间为100个采样间隔，保持不变。在③时行波再次返回到母线2并向故障点传输，再反射，于④最终到达母线2，因此这种情况下应用③和④之间的间距来求解故障距离。得到t₃和t₄之间的间距为100个采样间隔，即0.01s，根据式(5)可以计算出故障测距为150km，结果正确。
这清楚地说明了行波只在线路参数不同的地方才有折反射的特性。

5 综合分析
由上分析可见，一般情况下利用式(5)求故障距离是可行的。但尚存在以下一些问题：
（1）在时刻②和④之间还存在相邻线路反射行波的影响，如时刻t₃的③（4.3.3节除外，因为不存在反射行波），以及行波从另1端母线4反射所造成的影响（由于中间有故障点的存在，一般较弱）；
（2）不同的故障距离或不同故障参数条件下，小波分析的奇异性有时不明显，如4.3.2节中的位置④处；
（3） 特殊情况下，如相邻线路（母线5至母线2）分布参数与故障线路分布参数完全相同时，判别条件要改变，见图8；
（4） 还受到其它干扰的影响。
以上分析中，①、②、③、④几个点是人眼直觉的，且是在假设故障点是已知的情况下确定的，存在主观判断的成分。如果利用计算机保护装置来分析与识别，则显然会有问题，因为其他线路行波反射和干扰往往会使识别位置④的判据无法确定（奇异性不明显），而造成测距困难。
文献[1]提出利用相邻线路的比较行波与故障线路行波（用小波变换的相应位置模极大值的极性及大小）来判断位置②和④，在本次EMTP仿真实验中，相邻线路行波的小波变换模极大值都较相应位置故障线路行波的小波变换模极大值要小，因此，用大小比较来判别故障距离是不可行的；而用模极大值极性比较，多次不同情况的试验比较表明，也不能找到合适的规律性。所以应用式(5)计算故障距离会因为计算机程序判别依据的不确定性而较难实现。
6 故障测距的新计算方法
再次重新观察各种情况下的图形，可以发现，位置①对应的时刻（称时刻①）是已知的，而行波第1次到达母线2的时刻②用小波奇异判断也非常明显（第1次到达，没有折射、反射的行波，也无明显衰减），程序判据条件易于确定。因此可用时刻①和②来求解故障距离，求解式显然为
L=v(t₂-t₁) (6)
实际上，时刻①和②所对应的时间间隔就是位置②和④所对应的时间间隔的一半。
观察图形和用该方法确定判据的计算机程序来计算，证明该方法是正确的，即使是在特殊情况（图8）下也无影响。
7 结论
本文提出了应用小波变换进行超高压线路故障测距的新计算方法。该方法利用小波变换具有的时频局部化及对奇异信号敏感的特性，可对超高压输电线特有的故障行波进行分析，以确定判据及测距公式，达到了准确故障测距的目的。
仿真实验计算的结果充分体现了小波变换对信号中奇异信号敏感的特性。考虑到计算机保护程序设定判据的难度较大，不易实现精确测距，故提出了新的计算方法。仿真试验的结果证明了新计算方法是正确的，且测距精度较高。利用小波方法进行行波测距的理论本身和目前的仿真实验结果表明，新的计算方法克服了故障点过渡电阻、系统运行方式、线路分布电容和负荷不对称等影响所造成的测距误差。

参考文献

[1] 董新洲，葛耀中，徐丙垠（Dong Xingzhou，Ge Yaozhong，Xu Bingyin）．利用暂态电流行波的输电线路故障测距研究（Research of fault location based on current havelling waves）[J]．中国电机工程学报（Proceedings of the CSEE），1999，19(4)：76-80．
[2] 贾俊国，范云鹏，李京，等（Jia Junguo，Fan Yunpeng，Li Jing et al）．利用电流行波的输电线路故障测距技术及应用（Using travelling waves of transient current to locate the foulty position and its application）[J]．电网技术（Power System Technology），1998，22(8)：61-66．
[3] Robertson D C，Camps O I，Mayer J S et al．Wavelets and electromagnetic power system transients[J]．IEEE Trans on Power Delivery，1996，11(2)：1050-1058．