内容提要：投资乘数与资本－产出比率都是描述投资和产出关系的参量。本文首先分别介绍关于投资乘数的定义和关于资本－产出比率的定义，然后根据两者定义，建立了它们之间的函数关系：它们互为倒数。再根据理论分析和实际统计数据，证明凯恩斯投资乘数公式是错误的。

一．投资乘数
一提起“乘数”，人们自然而然地会联想到凯恩斯（John M. Keynes）的“投资乘数”（investment multiplier）。“乘数”或称为“倍数”，虽然不是凯恩斯所首创，但人们往往和凯恩斯构成必然联系。这不是没有道理的。凯恩斯从最简单的收入分配关系式出发：
Y=C I ―――――――――――――――――――――――――――（1）
即每年的收入Y分解为消费C和投资I（假定储蓄全部转化为投资），进而假定消费C占收入Y的比例为b，称b为边际消费倾向，0≤b≤1，即
C=bY ―――――――――――――――――――――――――――（2）
将式（2）代入式（1），从而得到式子Y=bY I，由此式可以得到Y=（1/(1-b)）I 。如果对上式求增量，则可以得到下式（假定边际消费倾向不变）：
ΔY=(1/(1-b))ΔI ――――――――――――――――――――――（3）
凯恩斯用自己的名字的第一个字母k表示ΔI前面的系数：
k=1/(1-b) ――――――――――――――――――――――――――（4）
并称k为投资乘数。他的原话是这样的：“称k为投资乘数（investment multiplier）” “1－1/k即为边际消费倾向”“这个乘数告诉我们，当总投资量增加时，所得之增量将k倍于投资增量”（Keynes，1981，第99页）。
通常边际消费倾向b＜1，所以乘数k肯定大于1，而且可以展开成无穷级数：
k=1/(1-b)=1 b b↑2＋b↑3＋…… ―――――――――――――――（5）
上式中“b↑x”表示b的x幂。将式（5）代入式（3），可得收入增量：
ΔY=kΔI =1/(1-b)ΔI =ΔI bΔI (b↑2)ΔI＋(b↑3)ΔI＋…… －――（6）
根据级数公式（6），于是人们作出了投资的连锁效应解释。本文不打算对这些关于投资的连锁作用解释的荒谬性再行批驳，有兴趣钻研的可参阅网文[2]。本文主要是要把“投资乘数”和下面的资本－产出比率相沟通，所以再对这个“投资乘数”的定义多说几句。
凯恩斯说：“这个乘数告诉我们，当总投资量增加时，所得之增量将k倍于投资增量”（Keynes，1981，第99页）。“凯恩斯认为，投资乘数的意义不仅仅是投资的增加直接或间接引起了国民收入的成倍增加，而且对就业也有同样的意义。……所以，与投资乘数相适应，由于投资的增加，使收入成倍增加，从而引起就业量的成倍增加。”（吴贤忠，1987，第62页）。“乘数也叫倍数。……投资乘数即为投资量变化数与国民收入变化量的比率，用公式表示为
投资乘数＝国民收入的变化/投资的变化＝ΔY/ΔI”（杨君昌，1999，第355页）。“故ΔY＝ΔI/(1-b)，上式中1/(1-b)称为‘乘数’，其中b为边际消费倾向。……所谓‘乘数原理’是说，增加一笔投资ΔI，……引起的国民收入增加量（ΔY）……是为初始的投资量的若干倍，……乘数之值等于边际储蓄倾向之倒数。”（宋承先，1997，第123页）。
引了这么多家定义，它们都是一致的，所以是足够了。归纳起来，还是凯恩斯说的：当总投资量增加ΔI时，国民收入增量ΔY将k倍于投资增量：
ΔY＝kΔI ―――――――――――――――――――――――――（7）
投资乘数k的意义是：投资增加1亿元，国民收入将增加k亿元。

二．资本－产出比率
现在介绍资本－产出比率的定义。
“生产出一定量产品Y必须使用一定量资本物（厂房机器设备和原材料等）K，例如按照生产技术的要求，生产出某种产品Y＝100美元，必须配备的资本K＝300美元，则资本－产出比率β＝K/Y＝300美元/100美元＝3。”（宋承先，1997，第177页）。“假定在如何时期，产量与所需配备的资本物之间有一固定不变的比率β，即
K(t-1)=βY(t-1)
K(t)=βY(t)
故 K(t)－K(t-1)=β(Y(t)－Y(t-1))
上式表示，为了使本时期产量增加ΔY(t)＝Y(t)－Y(t-1)，要求添置的资本物ΔK(t)＝K(t)－K(t-1)，即进行的投资I等于βΔY(t)：
ΔK(t)＝βΔY(t)
I＝βΔY(t)” （宋承先，1997，第178页）。
根据上面的思想，假定t-1年的资本是K(t-1)，产出是Y(t-1)，有关系式K(t-1)= βY(t-1)，第t年的资本在K(t)的基础上再增加投资ΔI，资本存量变成K(t) ΔI，则第t年的产出由Y(t)增加到Y(t) ΔY，从而有如下关系式：
K(t) ΔI＝β（Y(t)＋ΔY） ――――――――――――――――――（8）
这里的ΔY是由于增加投资ΔI引起的。因为前面有公式K(t)=βY(t)，所以由公式（8）可以得到下式：
ΔI＝βΔY ――――――――――――――――――――――――（9）
上式表示：如果资本－产出比率为β，则投资增加ΔI，产出量增加ΔY。资本－产出比率β的意义是：产出增加1亿元，则需要增加投资β亿元。
我们再引另一位作者的一段话：“……整个社会的投资量就取决于整个社会的国民收入，在某个时期内对投资量的需求和国民收入的关系可按下式表示
I(t)=a(Y(t)－Y(t-1)) R(t)
这里Y表示国民收入，I表示投资，R表示更新投资，t表示时期，……a叫做资本－产出比率，或者叫做资本系数，也叫做加速数。”（杨君昌，1999，第384页）。
如果在上面（杨君昌，1999，第384页）的公式里，假定第t年的投资由I(t)增加到I(t) ΔI，则第t年的国民收入应该从Y(t)增加到Y(t)＋ΔY，从而有下面的关系式：
I(t) ΔI＝a(Y(t)＋ΔY－Y(t-1)) R(t) ―――――――――――――（10）
公式（10）减去前面（杨君昌，1999，第384页）的式子，就得到：
ΔI＝aΔY ――――――――――――――――――――――――（11）
这个式子和公式（9）是一样的，只是资本－产出比率用的符号不同而已。现在把公式（11）改变一下形式：
ΔY＝(1/a)ΔI ―――――――――――――――――――――――（12）
由式（12）我们得到结论：如果投资增加ΔI，则国民收入增量是投资增量ΔI的(1/a)倍（或者(1/β)倍）。或者说，投资增加1亿元，则国民收入将增加(1/a)亿元（或者(1/β)亿元）。

三．结论
投资乘数k介绍了，资本－产出比率a也介绍过了，现在不难指出k与a之间的关系。由公式（7）和公式（12）可以得到：
k=1/a ―――――――――――――――――――――――――――（13）
大家知道，凯恩斯投资乘数k肯定大于1，如果凯恩斯投资乘数k＞1成立，则资本产出比率a（或β）必须小于1。然而，前面宋承先举的例子是β＝3：“资本－产出比率β＝K/Y＝300美元/100美元＝3。”（宋承先，1997，第177页）。如果宋承先举的例子β＝3是正确的，则凯恩斯的投资乘数k就有问题。反之亦然。两者必居其一。也许有人会说，凯恩斯的投资乘数是考虑了连锁效应的，所以k＞1，如果不考虑连锁效应，则k就小于1，那就和资本产出比率a（或β）相统一了。这一说法不能令人信服。首先，获得投资乘数k的公式（3）、（4）的推导过程中并没有考虑连锁效应，连锁效应是对投资乘数k进行解释的过程中、将k展开成无穷级数后才考虑到的，而且这种无穷级数的解释本身存在诸多问题。其次，宏观经济学通常考虑的是整个社会经济系统，整个社会今年比去年增加投资ΔI，这个ΔI已经是全社会的了，它还能连锁谁？还能拉动谁？难道还能拉动外国、外星人？即使能连锁外国经济，收入也算不到你的头上啊。
下面举两个实际一点的数字例子。例一，“中国1997年GDP的名义值为74772亿元，比上年增长8.8％，增幅为6580亿元。该年总投资为25300亿元。如果用总投资与GDP增量之比作资本－产出比的估计，那么这个比例大约为4 。”（司春林 王安宇，2002，第42页）。这是说资本－产出比率a=ΔI/ΔY=25300/6580近似等于4，大于1。例二，中国2000年的社会总资本约等于39万亿元（RMB），当年的GDP＝8.911万亿元，于是可以算出资本－产出比率a＝K/Y=39/8.911=4.4，也大于1。这就是说，资本－产出比率大于1是经得起实践检验的，言下之意，凯恩斯的投资乘数k肯定大于1就是荒谬的。
许多宏观经济学教科书，讲乘数时只讲乘数，讲资本－产出比率时只讲资本－产出比率，都是讲投资和产出之间的相互关系，却没有建立两种系数之间的联系。既然是讲科学，做学问，人们有理由要请教一下它们之间是不是有联系，如果有联系那是什么样的关系。如果宏观经济学教科书的编著者是编写相声绕口令：“吃葡萄不吐葡萄皮，不吃葡萄倒吐葡萄皮，……”，那我也就不问为什么“不吃葡萄倒吐葡萄皮”了？

参考书目
[1] John M. Keynes，1981 ：《就业利息和货币通论》，中译本，商务印书馆。
[2] laolu，凯恩斯“乘数公式”是个谬误，
http://www.cec.zju.edu.cn/goodknight/bbs/uploadImages/20045246151877216.doc" TARGET=_blank>http://www.cec.zju.edu.cn/goodknight/bbs/uploadImages/20045246151877216.doc
[3] 宋承先，1997，《现代西方经济学》（宏观经济学），复旦大学出版社。
[4] 司春林 王安宇，2002，《宏观经济学――中国经济分析》，上海财经大学出版社。
[5] 吴贤忠等编，1987：《当代西方经济学说简明教程》，湖南人民出版社。
[6] 杨君昌，1999：《微观宏观经济学》，上海：立信会计出版社。