摘要：国内水利水电工程建设目前正处于前所未有的蓬勃发展时期，许多低水头径流式水电站建设逐步在我国的江河上兴建，其中灯泡贯流式水电站由于流道平坦，机组过流量大、单位转速高、效率高、尺寸小、重量轻、能量及经济指标好等优.点成为目前比较普遍的一种开发型式。然而，由于灯泡贯流式水电站厂房独特的布置型式，致使应力分布有不同于常规水电站厂房的特点，特别是在高地震烈度区修建的灯泡贯流式水电站。因此，本项目的研究分析具有十分重要的现实意义。

关键词：灯泡贯流式水电站 静 动力计算分析 有限元

　2 有限单元方法及静动力分析理论

　　2.1 引言

　　在科学技术领域内，对于许多力学问题和物理问题，都可以归结为在定边界条件下求解其控制方程、常微分方程或者偏微分方程的问题。但是能够采用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单、几何形状相当规则的问题。对于大多数的工程技术问题，由于方程的某些非线性特征，或者由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能够得到解析的答案。这类问题的解决通常有两种途径。一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解。但是这种方法只在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至错误的解答。另一种途径是保留问题的复杂性，利用数值计算方法求得问题的近似数值解，随着电子计算机的飞速发展和广泛使用，已逐步趋向于采用这种方法来求解复杂的工程实际问题。而有限单元法便是解决这些复杂工程问题的一个比较新颖并且十分有效的数值方法^[54]。

　　有限单元法的基本思想早在二十世纪四十年代初期就有人提出，但真正用于工程中则是在电子计算机出现以后。“有限元单元法”这一名称是1960年美国的Clough.R.W在一篇名为“平面应力分析的有限元法”论文中首先使用的。40年来，随着现代力学、计算数学和计算机技术等科学的日益发展，有限元法的理论和应用都得到了迅速、持续的发展。有限单元法是目前工程技术领域中实用性最强，应用最为广泛的数值方法，它的应用已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题；分析对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等；从固体力学扩展到流体力学、传热学、电磁学等领域；在工程分析中的作用已经从分析和校核扩展到优化设计和计算机辅助设计相结合，成为科学研究和工程计算的一种最重要的方法。 　

　　有限单元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个、并且按一定方式相互联接在一起的单元的组合体。由于单元能按不同的联接方式进行组合，而且单元本身又可以有不同形状，因此可采用有限个单元对几何形状复杂的求解域进行离散。有限单元法作为数值分析方法的另一个重要特点是利用每一个单元内假设的近似函数来分片地表示整个求解域上待求的未知场函数。单元内的近似函数通常由未知场函数或者及其导数在单元的各个结点的数值和其插值函数来表示。这样，该问题的有限元分析中，未知场函数或者及其导数在各个结点上的数值就成为新的未知量（即自由度），从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。显然随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加以及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进。如果单元满足收敛要求，近似解最终将收敛于精确解。

　　有限单元法的实现必须通过计算机^[55]。全部有限单元法的计算原理和数值方法集中反应在有限单元法的程序中，因此有限单元法的程序极为重要。60年代末70年代初，随着有限单元法的日益成熟和计算机技术的发展，出现了大型通用有限元程序。到80年代初期，国际上较大型的面向工程的有限元通用程序达到几百种，其中著名的有ANSYS、NASTRAN、ASKA、ADINA、SAP等。它们多采用 FORTRAN 语言编写，规模达几万条甚至几十万条语句，其功能越来越完善，不仅包含多种条件下的有限元分析程序，而且带有功能强大的前处理和后处理程序。由于这些有限元程序功能强、使用方便、计算精度高、效率高，其计算结果已成为各类工业产品设计和性能分析的可靠依据。目前，大型通用有限元分析程序通过不断吸收计算方法和计算机技术的最新成果，将有限元分析、计算机图形学和优化技术相结合，已经成为解决现代工程问题必不可少的有力分析工具利用有限元分析程序。

　　利用有限元分析软件，人们可以对结构进行分析和优化设计，解决常规设计难以解决的问题，在产品设计的早期阶段就能预测可能出现的故障，从而提高产品设计质量降低产品开发成本，缩短产品设计和分析的循环周期，提高产品和工程的可靠性，减少设计成本。

　　2.2有限单元法的基本概念^[54,55]

　　有限单元法的基本思想是将问题的求解域划分为一系列单元，单元之间仅靠节点连接。单元内部点的待求物理量可由单元节点物理量通过选定的函数关系插值求得。由于单元形状简单，易于由平衡关系或能量关系建立节点之间的方程式，然后将各个单元方程“装配”在一起形成总体代数方程组，加入边界条件后即可对方程组求解。

　　有限单元法分析计算基本思路可以归纳如下： 　

　　（1）物体离散化　

　　首先将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，然后利用单元的节点将离散后的单元与单元相互连接起来。单元节点的设置、性质、数目等应根据问题的性质描述变形形态的需要和计算精度而定。一般情况下，单元划分越细则描述变形情况越精确，越接近实际变形，但是这样计算量也越大。所以，有限元法中分析的结构已经不是原有的连续物体或者结构，而是同样材料的众多单元以一定方式联接成的离散体。 因此，有限元分析计算所获得的结果只是近似解。如果划分的单元数目足够多且又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。

　　（2）单元特性分析　

　　①选择位移模式

　　从选择基本未知量的角度来看，有限元法可以分为三类：位移法、力法和混合法。位移法易于实现计算自动化，所以在有限元法中应用范围最广。

　　采用位移法时，物体或结构离散后，就可把单元中的一些物理量如位移、应变和应力等用节点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数来描述。通常，有限元法中我们将位移视为坐标变量的简单函数，这种函数称为位移模式或位移函数。

　　②分析单元的力学性质　

　　根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找到单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式， 推导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。

　　③计算等效节点力　

　　物体或者结构离散后，假设力是通过节点从一个单元传递到另一个单元的。但是对于实际的连续体，力是从单元的公共边界传递到另一个单元中去的。因而，作用在单元边界上的表面力、体积力或者集中力都需要等效地移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。

　　（3）单元组集　

　　利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程：

Kｑ＝ｆ （2-1）

　　式中Ｋ是整体结构的刚度矩阵；ｑ是节点位移列阵；ｆ是载荷列阵。

　　（4）求解未知节点位移　

　　解有限元方程式Ｋｑ＝ｆ得出结构。这里，可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。

　　通过上述分析，可以看出，用有限元法的基本思想是“一分一合”，分是为了进行单元分析，合则是为了对整体结构进行综合分析。

　　2.3结构静力分析的有限单元法^[53]

　　静力分析是工程结构设计中使用最为频繁的分析，主要用来求解结构在与时间无关或者时间作用效果可忽略的静力载荷(如集中/分布静力、温度载荷 强制位移、惯性力等)作用下的响应，并得出所需的节点位移、节点力、约束反力、单元内力、单元应力和应变能等。工程结构设计中经常采用静力分析来分析结构承受极端载荷时的响应，得到相应的最大应变、应力和位移，进而讨论结构的强度问题。而且静力分析同时也可以求解结构的重量、重心以及惯性矩等。

　　2.3.1结构静力分析的有限单元法解题步骤

　　结构静力分析的有限单元法主要解题步骤可以归纳如下：

　　（1）单元剖分和插值函数的确定：

　　根据结构的几何特性、载荷情况及所有求解的变形点，建立由各种单元组成的计算模型。再按照单元的性质和精度要求，写出表示单元内任意点的位移函数。

　　为了求解任意单元节点的位移，可先把所求节点位移假设为坐标的某种函数，这就是选用位移函数的问题。一般情况，可将所求的节点位移表示为坐标的幂函数，即采用多项式的模式。当单元很小时，单元内一点的位移可以通过节点的位移插值来表示。对于线弹性结构，可以将所求节点的位移表示为坐标的线性函数，这种单元的位移函数非常简单 大大简化了所讨论的问题。

根据节点处的边界条件 节点位移的矩阵形式可表示为：

　　 （2-2）

　　单元内部任意点位移的矩阵形式：

（2-3）

　　用节点位移表示单元体内部任意点位移的插值函数式：

（2-4）

　　式中ａ为位移参数，N为位移的形态函数，为节点位移，d为单元内任意点位移根据物理关系。

　　（2）单元特性分析

　　根据位移插值函数，由弹性力学中给出的应变和位移关系，可计算出应变为：

（2-5）

　　相应的变分为：

　　 （2-6）

　　式中B为应变矩阵。

　　根据物理关系，得到应变与应力的关系式为得到应变与应力的关系式为：

　　 （2-7）

　　式中D为弹性矩阵。

　　由虚位移原理，可得到单元节点力与位移之间的关系式：

　　 （2-8）

　　式中K^e为单元特性, 即单元刚度矩阵，它可表示为：

　　 （2-9）

　　（3）单元组集

　　把各单元按节点组集成与原结构相似的整体结构，得到整体结构的节点力与节点位移的关系。对于线弹性结构，处于小变形范围内，由弹性力学中的平衡方程、物理方程和几何方程可以推导出静力问题中有限单元法的基本方程，即整体结构平衡方程组： f=Kq式中，K为整体结构的刚度矩阵，f为总的载荷列阵q为整体结构所有节点的位移列阵。

　　对于结构静力学分析载荷列阵f可包括：

　　f=f_T f_m f_p （2-10）

　　其中：体积力转移；表面力转移；集中力转移

　　（4）求解有限元方程

　　可采用不同的计算方法求解有限元方程。注意在求解之前，必须对结构平衡方程组进行边界条件处理，然后再求解节点的位移q。

　　（5）计算应力

　　如果要求计算结构节点的应变和应力，则在计算出各单元的节点位移后，由式（2-5）和（2-7）即可求出相应节点的应变和应力。

　　2.3.2结构静力分析的有限单元分析程序流程

　　在结构静力分析中，有限元分析依据离散模型的数据，形成有限元求解方程f=Kq的整体刚度矩K，总的等效节点载荷列阵f，并解方程得到整体结构的节点位移列阵q，其主要过程的一般流程如下：

图2-1 静力分析中有限元的流程图