摘要：深入探讨、分析长江三峡工程上游河道宽级配卵石推移质输移特点及其随机过程，更清楚地认识三峡工程回水变动区河道泥沙运动规律是一个很重要的研究课题。本文应用70年代发展起来的现代数学手段分形（分维）几何学、R/S分析，对长江上游年来沙量过程进行分形特性分析，用R/S分析计算其分形维数，表明长江上游悬沙和推移质年沙量的分形维DH分别为1.321和1.378；赫斯特数Ｈ分别为0.679和0.622，均大于0.5，根据分形几何学、R/S分析原理，说明三峡工程上游来沙量发展过程发现为正相关，是具有持久记忆性、周期性的随机过程——分式布朗运动过程，长江上游沙量发展趋势有可能表现为：“良性循环或恶性循环”两种，长江上游来沙量必须依靠持久的水土保持治理和水库群拦截，否则会出现恶性循环的可能。文中用分形几何学、R/S分析方法对宽级配卵石推移质输移实测随机过程进行计算，结果表明对测量时间间隔8～9分钟的采样，所获得的输沙率随机过程的分维数DＨ=1.47(H=0.53),接近马氏过程（DH＝1.5）。测量时间间隔3分钟的采样，所获得的输沙率随机过程的分维数DH=1.33(H=0.67)，为非马氏过程，表明过程具有持久记忆性和周期性。
关键词：分维 R/S分析 推移质 泥沙输移随机过程
１ 前言
图1为1958年以来，长江上游寸滩沙量发展过程时间序列。由图１可以看出，年径流量、沙量、平均含量逐年均有变化，杂乱无章，毫无规律可循。对于这种时间序列，分析其时间序列的特点、规律是现代数学方法分形几何学、R/S分析的研究内容。用新的手段方法尝试分析长江上游泥沙的来水来沙条件，无非是企图从不同角度促进长江三峡工程泥沙研究工作的深入。无疑引入现代数学或其它现代科学的方法去探讨长江三峡工程泥沙问题，对于宽级配卵石推移质输移特性的研究具有理论意义和实用价值。 文中应用现代数学的新成果分形几何学、R/S分析方法进行分析，从理论上探讨长江上游来水来沙发展过程和宽级配卵石推移质输沙移机过程的特点，为推移质输移特性深入研究提供基础。分形理论还可用于长江上游河床地貌、河型分类和河型转化领域的研究中。 | 
| 图1 长江上游寸滩历年来沙量过程线
The process of annual sedimentdischarge in upper Yangtze River |
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2 分形几何学、分析法简介
分形几何学（Fractal Geometry）由法国著名数学家曼德尔布罗特在70年代中期创立[1],80年代初期已广泛地应用于物理学、化学、生物学、地学、经济学、情报学等自然科学领域[2]。在国外分形研究异常活跃,与物理学、化学、材料科学等有关的国际会议,已达20次以上。国内分形研究起步较晚，但在应用领域已有一些较好的工作出现。美国著名科学家勒惠（J.A.Wheeler）认为：今天谁不知道高斯分布或熵的概念的意义和范围,谁就不能被认为是科学上的文化人；同样可以相信，明天谁不能熟悉分形，谁也不能被认是科学上的文化人。经典的欧氏几何学研究是直线、平面、圆、球、锥体等非常有规则的几何对象，但象山、海岸线、云、闪电以及布朗运动轨迹和上述沙量发展过程线这些极不规则的物体、曲线则是分形几何学的研究内容。
描述分形的一个重要参数是分形维数,简称分维。它和普通的空间一、二、三维有明显的差异，分维的维数可以是小数维,如1.2维，2.3维等,象通常布朗运动轨迹的分维数为1.5维,而紊流的多重分维数通常为2.34维，分维数的定义有许多种，这里只简述其一种分维数。
豪斯道夫维数：设A Rn,S≥0,对于σ>0，定义HSδ(A)=infΣ｜Ui｜S(AUUi,｜Ui｜≤δ)，其中｜Ui｜表示UI的直径，定义HS(A)=limHSR(A)，HS(A)称为集合A的豪斯道夫S维测度。可以证明，对于集合A，存在唯一的非负实数DH(A)，它满足：若0<S<DH(A)，则HS(A)=∞;若DH(A)<S<∞,则HS(A)=0。DH(A)叫做A的豪斯道夫维数。对于任意的集合A，恒有DH(A)>DT(A),DT(A)为A的拓扑维数。 |
R/S分析是由赫斯特于1965年提出的一种时间序列统计法[2]。它在分形理论中有着重要的应用。下面就R/S分析的基本原理和方法、分维数与赫斯特数的关系及其物理意义作简单的介绍。考虑一个时间序列［ξ(t),t=1,2……］，对于任意整数τ>1，定义非负时均序列<ξ>τ=1/τΣξ(t),τ=1,2……；用X(t)表示累计离差：X(t,τ)= Σ(ξu)-<ξ>τ),1<t<τ；极差定义为：R(τ)=maxX(t,τ)-minX(t,τ),(1<t<τ),τ=1,2……)；标准差定义为：S(τ)=(1/τ(ξ(t)-<ξ>)2)1/2,τ=1,2,……。
现考虑比值R(τ)/S′(τ)=R/S，赫斯特发现有如下经验标度关系：R/Sα(τ/2)H（或ατH），H称为赫斯特数。如果ξ(t)相互独立，方差有限的随机过程序列，则由赫斯特和费勒证明了如下结果：R/S=(πτ/2)1/2,即H=1/2。
由分维定义和分式布朗运动的原理，可得出分维数DH和赫斯特数的关系为：DH=2-H或H=2-DH。当H=0.5时，DH=1.5是通常的布朗运动的分维数，H<1/2时，呈现负相关，有两种情况，一则由“好”到“坏”，二则由“坏”到“好”。当其H>1/2时，呈现正相关，可能出现“良性循环”和“恶性循环”。决策者采取适当的措施，避“恶”扬“良”，达到较好的目的。显然，这在经济学中有极为重要的应用前景对国民经济宏观决策作出良好的综合评价。同时，若ξ(t)为一学生成绩，则R/S分析结果可以评价学生成绩发展的综合情况。同样，通过赫斯特数的大小，可以判断江河水量、沙量和淤积量发展趋势。根据H>1/2或H<1/2，提出流域治理决策。
3 长江上游沙量发展的R/S分析
长江上游50年代以来沙量过程如图2所示。用上述1958年以来的水沙量，含沙量资料进行R/S分析计算，其R/S和τ的关系如图2所示。长江上游寸滩推移质沙量过程及R/S分析结果如图3所示。 长江上游悬移质沙量发展过程的：R/S=0.8789τ0.679，回归相关系数为0.9808。由此可得赫斯特数H=0.679，分维数DH=1.321。长江上游推移质沙量发展过程的R/S=0.9316τ0.622，回归相关系数为0.9566。由此可得赫斯特数H=0.622，分维数DH=1.378。 | 
| 图2 长江寸滩来沙量过程R/S分析结果
R/S versus τ(years)relation of sediment discharge in upper Yangtze River |
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图3 长江寸滩推移质沙量过程及R/S分析结果
The process and R/S relation of bed-load transport in the upper Yangtze River |
由长江上游悬沙、推移质沙量过程的H>0.5可见，长江上游沙量发展呈正相关，过去的增长可能意味着将来的增长，过程具有持久记忆性，沙量发展可能出现“良性循环或恶性循环”。曼德尔布罗特曾对太阳黑子活动进行R/S分析，得到H=0.93，远大于1/2，这与太阳黑子活动周期性（11年一个周期）相一致。
沙量发展过程的H值大于0.5，有着记忆性和周期性。不能以某一时段的水沙规律说明其沙量是增加和减少，来制定长期治理的策略。长江上游沙量发展可能出现“良性循环或恶性循环”的可能，因此应依靠长久的和水库拦截等措施，达到良性循环，避免出现“恶性循环”的可能。
４ 宽级配推移质输沙率随机过程的分维研究
宽级配推移质输移的一个特点是输沙率具有强烈的脉动性（阵发性）。图４、图５、图６和图７均是岷江宝瓶口河段实测推移质输沙过程。同一流量所对应的输沙率值相差可达数十倍至上百倍，这种大幅度变化的周期，可长达数十分钟[4,5,8]。
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图4 卵石推移质输沙率随机过程及R/S分析结果
The process and R/S relation of bed-load rate measured with 8~9 minutes intervals |
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图5 卵石推移质输沙率随机过程R/S分析结果
The process and R/S relation of bed-load rate measured with 8~9 minutes intervals |
图4、图5为间隔8～9分钟采样的输沙率脉动过程。而图6、图7为间隔3分钟采样的输沙率脉动过程。下面分别对图4、图5、图6和图7所示的输沙率脉动过程作分维计算，所得R／S与τ的关系曲线如相应的图4、图5、图6和图7所示。
图4所示的输沙率随机过程的：R/S=0.949τ0.5315。回归相关系数为0.9744。由此可得赫斯特数H=0.5315，分维数DH=1.4685。
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图6 卵石推移质输沙率随机过程及R/S分析结果
The process and R/S relation of bed-load rate measured with 3 minutes intervals |
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图7 卵石推移质输沙率随机过程及R/S分析结果
The process and R/S relation of bed-load rate measured with 3 minutes intervals |
图5所示的输沙率随机过程的：R/S=1.024τ0.5355。回归相关系数为0.9766。由此可得赫斯特数H=0.5355，分维数DH=1.4645。由此可得间隔8～9分钟采样的输沙率脉动过程的分维数DH=1.47，接近马氏过程DH=1.5。这和以往假设泥沙跃移、休止时间等马氏过程是一致的。然而，间隔3分钟采样的输沙率脉动过程的分维数与上述结果就存在差别。
图6所示的输沙率随机过程的：R/S=0.806τ0.6737。回归相关系数为0.9806。由此可得赫斯特数H=0.7637，分维数DH=1.3267。
图7所示的输沙率随机过程的：R/S=0.8125τ0.6605。回归相关系数为0.978。由此可得赫斯特数H=0.6605，分维数DH=1.3395。由此可得间隔3分钟采样的输沙率脉动过程的分维数DH=1.33～1.34，H=0.66～0.67（大于0.5），表现出持久记忆性。
两组过程的差别在于采样间隔不同，导致输沙率随机过程特性也不相同。这种由时间间隔不同，其测量的随机过程特性不同，与海洋波高研究成果也是一致的。在海洋波高预测研究中，若以τ=10天左右为间隔，则H=0.92，表现出持久记忆性；若以τ=20天左右为间隔，则H=0.52，表现出统计独立性。
实际工程应用中，根据沙量发展具有持久记忆性特点制定长期治理措施。而推移质输沙率随机过程的独立性与持久记忆性取决于采样时间间隔，这对进一步探讨推移质输移脉动和采样具有指导作用。
5 结束语
1.分形几何学、R/S分析是总体评价沙量发展的一种有效手段。
2.长江上游沙量发展的R/S分析计算表明，赫斯特数H>0.5，呈正相关和持久记忆性与周期性。
3.卵石推移质输沙率脉动特性随采样时间间隔不同，可为独立过程，也可为具有持久记忆的。
4.分式布朗运动过程。
5.进一步分析、探讨长江上游水沙(特别是宽级配卵石推移质沙量)发展分形特性对宽级配泥沙输移具有一定的指导作用。
参 考 文 献
[1] Mandelbrot, B.B. Fractal Geometry of Nature, W.H.Freeman(1982)。
[2] Hurst, H.E.long-Term S. Forage An Experimental Study, Clnstable(1965).
[3] 李后强,陈光铖。分形与分维。四川侍育出版社，1990年。
[4] 华国祥,陈远信。都江堰泥沙的研究。第一届河流泥沙国际学术讨论会集。1979.[5] 陈远信,况仕富。卵石推移质采样器的研究。第二届河流泥沙国际学术讨论会集，1983.
[6] 谭颖。河道卵石运动的阵发性。第二届河流泥沙国际学术讨论会集，1983年。
[7] 刘兴年,樊崇良,陈远信。长江上游沙量发展趋势的分形几何学,R/S分析方法。四川省工程水力学及泥沙学术讨论会，1994年。
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