摘要： 在填土水平且无粘性条件下，分析 垂直墙背挡土墙的主、被动土压力分布。通过研究 极限状态土体内主应力拱的应力，得到挡土墙的土压力系数。取滑动土楔内水平薄层土体单元进行分析，推求挡土墙土压力的分布及合力的计算 公式，并用试验结果验证。研究表明，本文所得土压力合力与库仑解相等，但土压力分布并非直线，主动土压力的合力作用点高度大于三分之一墙高，而被动土压力的合力作用点高度小于三分之一墙高。
关键词： 挡土墙 土压力 主应力拱
在经典土压力理论 中，认为土压力呈线性分布，而工程实测结果和模型试验表明，土压力是曲线分布[1,2] 利用水平层分析法，对垂直墙背挡土墙后填土水平且无粘性条件下的土压力分布进行研。1 主应力拱及侧向土压力系数 1.1 挡土墙模型 为分析方便，取如图1 所示的挡土墙模型，假定：①ab 、cd 是二刚性平行墙背，相距B ，墙面粗糙；② 两墙之间填土水平且无粘性；③ 在外力作用下，两墙产生相向( 背) 运动，土体达到被( 主) 动极限状态。1.2 大主应力拱应力和理论被动土压力系数 在挡土墙模型中，因问题 的对称性，两墙中点E 的大主应力σ1 为水平，而靠近边墙的A 、C 点，因边壁摩擦影响 ，大主应力发生偏斜并与墙面形成θ=45° φ/2 的夹角[3] , 这就使两墙之间的大主应力迹线成为一条对称的下凸曲线，称为大主应力拱，如图2 所示，其中φ 为土体的内摩擦角。大主应力拱上E 点和A 、C 点的应力状态可用莫尔应力圆表示。1 ，由A 点微分单元水平力及垂直力的平衡条件可得
(1)
(2)
将式(1) 两端同除以小主应力σ3 ，并认为土体处于朗金被动状态，即σ1 /σ3 等于朗金被动土压力系数Kp ，式(1) 变为
(3)
由图2 可知：σh =σ1 σ3 -σv ，将其代入式(3) ，得
(4)
式(3) 除以式(4) ，得到理论被动土压力系数
(5)
式中：σh 、σv 、τ 分别为A 点的水平应力、垂直应力和剪应力。θ=90° ，则Kp1 =Kp ；对于粗糙墙面，θ=45° φ/2 ，则Kp1 =(1 sin2 φ)/(1-sin2 φ) 。若θ 为大主应力拱内某点大主应力与铅垂直的夹角，以上各式即表示该点的应力及其比值关系。1.3 大主应力拱形状和实用被动土压力系数 由图2 可见，大主应力拱单元的边界是由小主应力面形成的曲面，为了满足力矩平衡条件，大主应力拱内的应力应保持为常量。假定土拱单元的厚度和土的容重不变，则大主应力拱的形状为一条悬链线，令墙土摩擦角δ 等于土体的内摩擦角φ ，其方程为[4,5]
(6)
在墙壁处，x=±1 ，其斜率为
(7)
由式(7) 可以求得不同φ 时的拱形参数a ，结果见表1 。根据φ 及其对应的a ，可由式(6) 绘出大主应力拱的曲线，由式(3) ～式(5) 绘出σh /σ3 、σv /σ3 、σh /σv 应力比值曲线，见图3 。为了实用，对不同的φ ，利用式(4) 求大主应力拱内平均垂直应力σav 与σ3 的比值，经数值分析，当φ=0° ～40° 时，σav /σ3 =1.00 ～1.24 。则实用的被动土压力系数为
(8)
垂直墙背挡土墙后的土体到达被动极限状态时，忽略墙背对土体的影响，土体内破裂面 上各点的应力状态与图1 中E 点的应力状态相同，三角形滑动土楔内的大主应力拱近似为上述 曲线之半，挡土墙被动土压力系数可由式(8) 计算。
表1 不同内摩擦角时的拱形参数
内摩擦角 φ/o
拱形参数a
0
1.135
（a ）拱曲线
（b ）被动状态时拱内应力比值曲线
图3 拱曲线及应力比值曲线
1.4 小主应力拱及主动土压力系数 由分析可知，土体模型中的二平行墙产生向背运动，并使土体达到主动极限状态时，小主应力迹线形成的小主应力拱与大主应力拱有完全一样的形状，此时，两平行墙给土体的剪应力向上，图2 中的大主应力拱变成了小主应力拱，莫尔应力圆中的σh 和σv 互换，拱内应力及其关系为
理论主动土压力系数为
(13)
式中：Ka 为朗金主动土压力系数；θ 为小主应力与铅垂直的夹角；其余符号意义同前。Ka1 和Kp1 互为倒数。
(14)
2 土压力公式 被动极限状态下，墙后滑动土楔如图4 所示，β 为土体内破裂面与铅垂面的夹角。在楔体内某一深
图4 土契内的水平层单元
度h 处，取一水平薄层单元，其上的作用力包括平均垂直土压力( 平均垂直应力)q 、单元重力dw 、墙体和稳定土体对土楔的分布作用力p1 、p2 。由水平薄层单元水平力的平衡条件得
(15)
由竖直力的平衡条件得
(16)
略去二阶微量，注意到p1 =Kpw q/cosδ ，将式(15) 代入，式 (16) 变为
(17)
式中：γ 为回填土的重度；D=1-Kpw G,G=[tan(β-φ)-tanδ]/tanβ 。h=0 时，q=0 ，得微分方程(16) 的特解
(18)
被动土压力的分布p 与p1 大小相等、方向相反：
(19)
对式(19) 进行积分，得被动土压力的合力
(20)
由力矩法可求得合力作用点到墙底的距离
(21)
为使合力P 最大，令dP /d(tanβ)=0 ，得破裂面与铅垂面夹角β 之值
(22)
式中：n1 =1-tanδtanφ ；n2 =tanδ tanφ ；n3 =tanφ 。2.2 主动土压力 分析 表明，主动状态时的土压力分布、合力以及其作用点高度的计算 表达式与被动土压力完全相同，但此时需用Kaw 代替Kpw ，G 和tanβ 的计算式应分别改为
(23)
(24)
3 验证分析 利用前苏联学者查嘎列尔[1] 4.0m ，墙后填土为海沙，φ=37° ，γ=18kN/m3 ，δ=27° ～37° ，主动极限状态时测得的主动土压力分布如图5 中虚线，合力作用点高度为1.6m 。利用本文公式，取δ ＝27° 所求主动土压力分布如图中实线，合力作用点高度为1.8m 。H/3 。主动土压力呈凸曲线分布，其合力作用点高度为(1/3 ～1/2)H ，与文献 [1] H/3 。4 结 论 理论 主动土压力系数和理论被动土压力系数互为倒数。(2) 根据假定，文中公式可使用于填土水平且无粘性的垂直墙背重力式挡土墙。主动和被动土压力的计算公式形式相同，但参数不同。(3) 水平层分析法以库仑假定为前提，故本文所得土压力合力与库仑解相等，但合力与侧压力系数无关。(4) 墙背垂直时，主动土压力呈凸曲线分布，其合力作用点高度大于H/3 ；被动土压力呈凹曲线分布，其合力作用点高度小于H/3 。参 考 文 献 ：
[1] 克列因. 散粒体结构 力学[M]. 陈万佳译，北京：人民交通 出版社，1983 ，234-248. 顾慰慈. 挡土墙土压力计算[M]. 北京：中国 建材工业 出版社，2000 ，167-168. Williams.Arch in arching[J].Journal of Geotechnical Engineering,1989,115(3):415-419. [5]Richard L Handy.The arch in soil arching[J.Journal of Geotechnical Engineering,1985,111(3):302 ～318
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