摘要：变换欧拉方程式推导出紊流方程式，该方程中提出了“虚拟最优工况”的概念，将转轮前后的紊流流态分离出来，利用水轮机的能量特性计算紊流损失，比较其大小，以判断稳定运行的风险。

关键词：紊流损失 比较 转轮稳定性

　在水轮机招标的评标阶段，对水轮机水力设计的评审是极其重要的工作内容，选择相对优良的水力设计是招标成功的重要标志之一。水轮机水力特性包括能量、气蚀、稳定三大特性，其中稳定性是发电设备能否发挥效益的基础。

　　三峡水电站水轮机运行条件复杂，对机组的运行稳定性要求高，三峡总公司始终强调“将机组稳定性放在首位”，因而在三峡机组招标评议中，对转轮的稳定性重视程度超出了以往国内任何电站。

　　在评标中，除采用常规方法进行稳定性分析外，还讨论了用紊流损失分析法对各家水轮机稳定性的对比分析。专家们认为，紊流损失分析法的取值是能量特性，依据可靠，结论客观。本文将这种分析方法整理如下，以与同行研讨。

1 欧拉方程式及应用

　　欧拉方程式是研究水轮机工作原理的基本方程式，它的确立至今已有240年以上的历史，但仍被运用，其形态：

ηH=(u1V1cosa1-u2V2cosa2)/g

(1)

　　式中：u₁，u₂——叶片进口、出口的圆周速度
　　　　 V₁，V₂——水流进入、流出叶片的绝对速度
　　　　 a₁，a₂——V₁，V₂分别与U₁，U₂的夹角
　　　　 H，η——水流的工作水头和效率
　　本文运用欧拉方程式(1)，不是用来设计转轮，而是用来解释发生在转轮前、后的水力现象，准确的说是运用欧拉方程式所反映的物理概念。我们将欧拉方程式用于转轮整体，即：(1)式右边是发生在转轮前、后水流平均的工作特性，(1)式左边是实现这种工作特性所需的有效水头，且这一有效水头是通过精确的测量获得的。

2 紊流方程式的建立

　　混流式转轮的叶片是固定的，它不能随水头H和流量Q的变化而变化，因而在不同的工况(H，Q)点，在叶片进、出口出现不同的水流紊流，认识水流的运动规律是分析转轮稳定特性的基础。

2.1 设计工况 　　在设计工况下，水流从蜗壳进口到尾水管出口是顺畅的，稳定的，此时转轮的工作效率最高为ηmax，因而将设计工况又称为“最优工况”。 　　设计工况下的设计水头记作H0，设计流量Q0，该工况下的转轮叶片进出口水流速度三角形见图1，速度三角形的各速度含义及符号为同行所熟知，在此不赘述。

图1 设计工况转轮叶片进出口水流速度三角形

　　设计工况的设计原则是水流对叶片“无撞击进水，法向出流”，即：β₁＝β₀(β₀为叶片的安放角)，a₂＝π/2，为醒目，我们将在设计工况下，叶片进口绝对速度记作V₁₀相对速度记作W₁₀，进水角记作a₁₀。设计工况下欧拉方程式为：

ηmaxH0=(u1V10cosa10)/g

(2)

　　为了便于研究，根据图1速度三角形所表示的速度间关系，将W₁₀替换V₁₀，对(1)式进行变换：

ηmaxH0=[u1(u1-W10cos(π-β0)]/g

(3)

2.2 非设计工况 　　转轮的最优工况点(H0，Q0)只有一个，由于导叶开度或水头发生改变，则转轮离开最优工作状态而进入非设计工况工作，此时叶片进、出水流流态发生变化，令研究的非设计工况下水头为H(H>H0)，流量为Q(Q<Q0)，这是通常称之为高水头部分开度运行工况区，此时的转轮叶片进、出口速度三角形见图2a。

(a)叶片进、出速度三角形 (b)进口相对速度W1分解 图2 非设计工况叶片进、出口速度三角形

　　由图2a的V₁，W₁的几何关系得到下式：

V1cosa1=u1 W1cosβ1

(4)

　　将(4)式代入(1)式得到：

ηH=[u1（u1W1cosβ1）-u2V2cosa2]/g

(5)

　　(5)式是由欧拉方程式(1)变换而来，不同的是将水流绝对速度V1转换成叶片表面相对速度W₁，以便对问题的讨论。

　　由图2a可以看出，在研究的非设计工况下，水流流经叶片不再是“无撞击进水，法向出流”流态。水流在叶片上的进水角为β₁，与叶片安放角β₀产生一个冲角△β＝β₀-β₁，此时△β>0，称之正冲角，它随着导叶开度的减小而增加，当增加到一定数值时在叶片背面产生叶道涡流，典型的叶道涡流源于叶片上冠处，贯穿叶片间流道从下环处流出；叶片出口绝对速度V2出现了圆周方向的速度分量V₂cosa₂，即：水流进入尾水管携带了相应的环量，这是形成层水管涡带的能源。叶道涡流、强劲的尾水管旋转涡带是不稳定水流的主要表现形式，是造成机组水力不稳定运行和对机组造成破坏的主要原因。为了分析它们的存在及严重程度，对进口叶片表面相对速度W₁进行速度分解，图2b表示了W₁的速度分量和之间的相互关系，即：

=

(6)

　　是在研究的非设计工况下，沿叶片安放角β₀方向的分速度，它与具有相同的轴向流速，因而W₁₀’所代表流过转轮的流量Q与W₁是相同的。

　　△u₁是圆周方向的分速度，它的顶角是水流对叶片冲角△β，值越大，△β越大。

　　设旋转方向为正向，取，，在圆周方向投影则：

W1cosβ1＝W10'cos(π-β0) △u1

(7)

　　将(7)式代人(5)式，经整理得到：

ηH={u1[u1-W'10cos(π-β0)]}/g (u1△u1-u2V2cosa2)/g

(8)

2.3 虚拟最优工况与紊流工况

　　(8)式右边第一项，与(3)式右边具有相同的表达形式，因而可认为该项是该非设计工况下，假定叶片表面水流按最优工况条件工作的工作特性，即“无撞击进水，法向出流”，既然是假定的，也就是不存在的，因而称之“虚拟最优工况”，为了区别于转轮的设计工况，在效率符号上加撇以示区别，用欧拉方程式表示则有：

η'maxH={u1[u1W'10cos(π-β0)]}/g

(9)

　　(8)式右边第二项，除转轮进、出口圆周速度u₁、u2是不变的，丛△u₁、V₂cosa₂是随工况的改变而变化，且△u₁，V₂的速度方向也会改变。,的出现标志着运行工况离开了设计工况，水轮机流道内水流不再是最佳的稳定流态，而是出现不稳定流态，其值越大，则不稳定水流现象越严重，该项的量纲为“米”，可用水力损失的形式表示，为了区别称之“紊流损失”，记作[△H]：

[△H]=(u1△u1-u2V2cosa2)/g

(10)

　　将(9)(10)式代入(8)式得：

ηH=η'maxH [△H]

(11)

　　必须指出，提出虚拟最优工况的意义在于它是一根判别紊流损失大小的准尺，不在于这一最优工况是否实际存在。

2.4 紊流方程式

　　用H减去(11)式两边，经整理得到：

(1-η)H＝(1-η'max)H [△H]
[△H]＝(1-η)H-(1-η'max)H	(12)

　　(12)式中：H，η是研究的非设计工况的水头和实测效率(1-η'_max)H是虚拟最优工况的水力损失由于在虚拟最优工况与转轮的设计工况下，水轮机流道是相同的，都具有稳定的水流流态特性，两工况的水力损失血服从流道水力损失特性，即：

(1-η'max)H＝(Q/Q0)2(1-ηmax)H0

(13)

　　将(13)式代入(12)式：

[△H]＝(1-η)H (Q/Q0)2(1-ηmax)H0

(14)

　　(14)式称紊流方程式，可见：用可精确测量的转轮能量特性参数(η，η_max，Q，Q₀，H，H₀)，经简单计算，其计算结果可说明水轮机流道内水力不稳定流态的存在及严重程度。

3 紊流损失分析法的实践

　　对转轮稳定性的正确评议和在诸多评定项目中的权重取决于评标者对电站运行条件的理解和对转轮稳定性认识的实践经验，投标是商业行为，仅凭纸面上的资料数据及保证值进行评议是不够的。在三峡项目中，我们对转轮间稳定性比较尝试了用率流损失分析法进行紊流损失计算，根据计算值进行比较。

　　从图3排列①、②两家特性的黑色区域比其它4家明显偏小，而这两家相当，有差异但不大，若与其他4家相比，表明出现水力稳定问题的风险显著小得多。综合各种评比因素，三峡项目选择前两家转轮的水力设计是合适的。最终的模型验证试验成果也证明了两家转轮的稳定性指标存在这一差异。

4 结论与讨论

　　(1)紊流损失方程式是从古典的欧拉方程推导而来，因而它的建立是科学的，用能精确测量的能量特性参数，准确计算出紊流损失值去判断水流不稳定现象的存在及严重程度，判断方法客观，具有唯一性。

　　(2)紊流损失与进口附加环量(πD△u₁)和出口环量(πDV₂cosa₂)相关，在物理意义上紊流损失就代表了水流不稳定因素的能量大小，所以紊流损失分析法抓住了水流不稳定造成机组运行不稳定运行最本质的因素。

　　(3)紊流损失分析法，只是提供了对出现不稳定流态严重程度的风险分析比选方法。由于转轮水力不稳定造成机组运行不稳定的影响因素很多，因而该方程式还不能用于对机组是否能正常稳定运行作出判断。